Question

13．已知a≥0，b≥0，求證：$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²．

Answer 1

分析 由a≥0，b≥0，運用作差法，通過分解因式，以及非負(fù)數(shù)的概念，即可得證．

解答 證明：由a≥0，b≥0，
$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{2{a}^{2}+2^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}+2ab+^{2}}{4}$
=$\frac{{a}^{2}-2ab+^{2}}{4}$=$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b，取得等號．
則$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用作差比較法，考查推理能力，本題也可以運用分析法證明，屬于基礎(chǔ)題．