Question

2．將直線y=7x繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后所得的直線過點A（cosθ，sinθ）
（1）求sinθ，cosθ以及tanθ的值；
（2）若點A位于第二象限，記函數(shù)f（x）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sinθcosx+$\frac{10}{3}$cosθsinx，試用五點作圖法繪制函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線方程求出直線的斜率和傾斜角的正切值，利用兩角和差的正切公式結(jié)合同角的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可，
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合輔助角公式化簡f（x），利用五點法進(jìn)行作圖即可．

解答 解：（1）直線y=7x的斜率為7，設(shè)傾斜角為α，則tanα=7，α為第一象限角，
將直線y=7x繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后對應(yīng)直線的傾斜角為α+$\frac{π}{4}$，
則斜率tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{7+1}{1-7×1}$=$\frac{8}{-6}$=-$\frac{4}{3}$，
∵旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后所得的直線過點A（cosθ，sinθ）
∴tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=-$\frac{4}{3}$，
∵tanθ=tan（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{3}$＜0，
∴θ為第二象限角，或第四象限，
若θ為第二象限角，則sinθ＞0，cosθ＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{tanθ=-\frac{4}{3}}\\{sin^2θ+cos^2θ=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{4}{5}}\\{cosθ=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
即sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，tanθ=-$\frac{4}{3}$；
若θ為第四象限角，則sinθ＜0，cosθ＞0，
由$\left\{\begin{array}{l}{tanθ=-\frac{4}{3}}\\{sin^2θ+cos^2θ=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=-\frac{4}{5}}\\{cosθ=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
即sinθ=-$\frac{4}{5}$，cosθ=$\frac{3}{5}$，tanθ=-$\frac{4}{3}$；
（2）若點A位于第二象限，由（1）知sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，
∴f（x）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sinθcosx+$\frac{10}{3}$cosθsinx=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$cosx-$\frac{3}{5}$×$\frac{10}{3}$sinx
=2$\sqrt{3}$cosx-2sinx=4cos（x+$\frac{π}{6}$），
（2）用五點作圖法作出f（x）的簡圖．
當(dāng)x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]，則x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{2}$]
列表：

x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{5π}{2}$
x	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$
4cos（x+$\frac{π}{6}$）	0	-4	0	4	0

函數(shù)的在區(qū)間[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象如下圖所示：

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握五點作圖法．