Question

12．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=10，a₂為整數(shù)，且s₄是s_n的最大值．
（I）求{a_n}的通項公式；
（II）設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用已知條件求出數(shù)列的公差，然后求{a_n}的通項公式；
（II）化簡數(shù)列的表達式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可．

解答 （每小題（6分），共12分）
解：（I）由a₁=10，a₂為整數(shù)知，等差數(shù)列{a_n}的公差d為整數(shù)．
又S_n≤S₄，故a₄≥0，a₅≤0，（2分）
于是10+3d≥0，10+4d≤0，解得$-\frac{10}{3}≤d≤-\frac{5}{2}$，因此d=-3，（4分）
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=13-3n． （6分）
（II）∵${b_n}=\frac{1}{{（{13-3n}）（{10-3n}）}}=\frac{1}{3}（{\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{13-3n}}）$，（8分）
于是T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{12-3n}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{10}）$
=$\frac{n}{10（10-3n）}$．（12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列求和，考查計算能力．