Question

已知函數(shù)f（x）=2alnx-x+

1

x

，a≠0，g（x）=-x²-x+2

2

b．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？
（2）當(dāng)a=

2

時(shí)，對?x₀∈[1，e]，總存在t∈[1，e]使f（x₀）＜g（t）成立，求實(shí)數(shù)b的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）=2alnx-x+

1

x

的定義域?yàn)椋?，+∞）；f′（x）=

2a

x

-1-

1

x2

=

-x2+2ax-1

x2

；函數(shù)f（x）在定義域上有極值化為導(dǎo)數(shù)有正有負(fù)，故討論a即可，從而求a；
（2）當(dāng)a=

2

時(shí)，f′（x）=

-(x- 2 )2+1

x2

；從而求出f_max（x）=f（

2

+1）=2

2

ln（

2

+1）-2；從而可得總存在t∈[1，e]使2

2

ln（

2

+1）-2＜g（t）成立；再求g_max（t）=g（1）=-2+2

2

b；從而可得2

2

ln（

2

+1）-2＜-2+2

2

b；從而解得．

解答： 解：（1）f（x）=2alnx-x+

1

x

的定義域?yàn)椋?，+∞）；
f′（x）=

2a

x

-1-

1

x2

=

-x2+2ax-1

x2

；
①當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在定義域上為減函數(shù)，故無極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，
若函數(shù)f（x）在定義域上有極值，
則

- 2a -1 ＞0 -a2+2a2-1＞0 -1＜0

解得a＞1；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，+∞）；
（2）當(dāng)a=

2

時(shí)，f′（x）=

-(x- 2 )2+1

x2

；
故f（x）在[1，

2

+1]上是增函數(shù)，在[

2

+1，e]上是減函數(shù)；
故f_max（x）=f（

2

+1）=2

2

ln（

2

+1）-2；
則對?x₀∈[1，e]，總存在t∈[1，e]使f（x₀）＜g（t）成立可化為
總存在t∈[1，e]使2

2

ln（

2

+1）-2＜g（t）成立；
又∵g（x）=-x²-x+2

2

b在[1，e]上是減函數(shù)，
故g_max（t）=g（1）=-2+2

2

b；
故2

2

ln（

2

+1）-2＜-2+2

2

b；
故b＞ln（

2

+1）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題及存在性問題的處理方法，屬于中檔題．