Question

已知向量

a

=（1，1），

b

=（2x，x），

c

=（3，1）．
（Ⅰ）若（

a

+

b

）∥

c

，求實(shí)數(shù)x的值；
（Ⅱ）若（

a

+

b

）與

c

的夾角為45°，求實(shí)數(shù)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用（

a

+

b

）∥

c

，列出方程即可求實(shí)數(shù)x的值；
（Ⅱ）利用（

a

+

b

）與

c

的夾角為45°，通過向量的數(shù)量積得到方程，即可求實(shí)數(shù)x的值．

解答： 解：向量

a

=（1，1），

b

=（2x，x），

c

=（3，1）．

a

+

b

=（2x+1，1+x）      …（2分）
（I）∵（

a

+

b

）∥

c

，∴2x+1-3（x+1）=0⇒x=-2              …（4分）
（II）∵（

a

+

b

）與

c

的夾角為45°，∴（

a

+

b

）•

c

=|

a

+

b

||

c

|cos45°  …（6分）
∴3（2x+1）x+1=

(2x+1)2+(x+1)2

•

10

•

2

2

∴12x²+13x+3=0，解答x=-

1

3

 或x=-

3

4

．…（8分）
代入檢驗(yàn)，x=-

3

4

舍去
∴x=-

1

3

．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查向量的共線與數(shù)量積的運(yùn)算，基本知識(shí)的考查．