Question

2．平面直角坐標系xOy，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的直角坐標為（1，-5），直線l過點P且傾斜角為$\frac{π}{3}$，點C極坐標為$（4，\frac{π}{2}）$，圓C的半徑為4．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程；
（2）判斷直線l與圓C的位置關系．

Answer 1

分析 （1）根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程即可；（2）求出C到l的距離，從而判斷直線l和圓C的位置關系即可．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{3}}\\{y=-5+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
由題知，C點的直角坐標為（0，4），圓C半徑為4，
∴圓C方程為x²+（y-4）²=16，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入得圓C極坐標方程ρ=8sinθ，
（2）由題意得：直線l的普通方程為：$\sqrt{3}$x-y-5-$\sqrt{3}$=0，
圓心C到l的距離為d=$\frac{|-4-5-\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{9+\sqrt{3}}{2}$＞4，
故直線l和圓C相離．

點評 本題考查了求直線的參數(shù)方程以及圓的普通方程，考查直角坐標和極坐標的互化，考查直線和圓的位置關系，是一道中檔題．