Question

9．已知雙曲線C：4x²-y²=4及直線l：y=kx-1
（1）求雙曲線C的漸近線方程及離心率；
（2）直線l與雙曲線C左右兩支各有一個公共點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知焦點在x軸上，則a=1，b=2，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，漸近線方程為y=±$\frac{a}$x=±2x，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁•x₂=-$\frac{5}{4-{k}^{2}}$，直線l與雙曲線C左右兩支各有一個公共點，$\left\{\begin{array}{l}{4-{k}^{2}≠0}\\{△=（2k）^{2}-4（4-{k}^{2}）（-5）＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-5}{4-{k}^{2}}＜0}\end{array}\right.$，即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）將雙曲線C：4x²-y²=4，化為標準方程得${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知焦點在x軸上，
則a=1，b=2，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x=±2x，
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，（4分）
（2）由直線l：y=kx-1，直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{4{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（4-k²）x²+2kx-5=0，
由韋達定理可知：x₁•x₂=-$\frac{5}{4-{k}^{2}}$（6分）
直線l與雙曲線C左右兩支各有一個公共點，
$\left\{\begin{array}{l}{4-{k}^{2}≠0}\\{△=（2k）^{2}-4（4-{k}^{2}）（-5）＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-5}{4-{k}^{2}}＜0}\end{array}\right.$，（8分）
解得：k²＜5，且k²＜4，
∴-2＜k＜2，
∴實數k的取值范圍是（-2，2）…12分

點評 本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與雙曲線位置關系，直線與雙曲線的交點問題，考查計算能力，屬于中檔題．