Question

△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．
（1）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（2）判斷sinA+sinB取最大值時(shí)，△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將正切化為正余弦之比再相乘可得到3內(nèi)角的正弦關(guān)系式，再由sin（B-A）=cosC可求出答案．
（2）由條件可得A+B=120°，sinA+sinB=sin（60°+A），再根據(jù) 60°＜60°+A＜180°，sin（60°+A）∈（0，1]，從而求出當(dāng)sinA+sinB取最大值時(shí)△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）因?yàn)閠anC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，所以左邊切化弦對角相乘得到 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
所以sin（C-A）=sin（B-C），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立），即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°．
又因?yàn)閟in（B-A）=cosC=

1

2

，所以B-A=30°或B-A=150°（舍），
所以A=45°，C=60°．
（2）由條件可得A+B=120°，sinA+sinB=sinA+sin（120°-A）=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin（60°+A）．
∵0＜A＜120°，
∴60°＜60°+A＜180°，
∴sin（60°+A）∈（0，1]，
故sinA+sinB∈（0，1]，
當(dāng)sinA+sinB取最大值時(shí)，A=30°，B=90°，三角形是直角三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和正弦定理與三角形面積公式的應(yīng)用．注意余弦定理、三角形面積公式的靈活運(yùn)用，對于三角函數(shù)這一部分公式比較多，要強(qiáng)化記憶．