Question

7．若二次函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），其在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2）．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若不等式f（x）＞2x+m在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸和在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2得出f（x）的零點(diǎn)，設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），把（4，3）代入即可求出a；
（2）分離參數(shù)得m＜x²-6x+3恒成立，求出y=x²-6x+3在[-1，1]上的最小值即可得出m的范圍．

解答 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）關(guān)于x=2對(duì)稱，
∵f（x）在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，且f（x）與x軸的交點(diǎn)關(guān)于x=2對(duì)稱，
∴f（x）與x軸的交點(diǎn)是x₁=1，x₂=3，
設(shè)f（x）=a （x-1）（x-3）．
∵f（x）經(jīng)過點(diǎn)（4，3），即f（4）=3
∴a（4-1）（4-3）=3，
解得a=1，
∴f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
（2）∵f（x）＞2x+m在x∈[-1，1]上恒成立
即：x²-4x+3＞2x+m在x∈[-1，1]上恒成立
∴m＜x²-6x+3在x∈[-1，1]上恒成立
∵y=x²-6x+3在x∈[-1，1]上遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y取得最小值0．
∴m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)解析式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．