Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=81，a_n=$\left\{\begin{array}{l}-1+{log_3}{a_{n-1}}，\;n=2k\\{3^{{a_{n-1}}}}，n=2k+1\end{array}$（k∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最大值為127．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=81，a_n=$\left\{\begin{array}{l}-1+{log_3}{a_{n-1}}，\;n=2k\\{3^{{a_{n-1}}}}，n=2k+1\end{array}$（k∈N*），可得n=2k（k∈N^*）時，a_2k=-1+log₃a_2k-1；n=2k+1時a_2k+1=${3}^{{a}_{2k}}$．因此a_2k+1=${3}^{-1+lo{g}_{3}{a}_{2k-1}}$=$\frac{1}{3}{a}_{2k-1}$，a_2k=-1+a_2k-2．于是數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{3}$；偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為-1．分類討論求和，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=81，a_n=$\left\{\begin{array}{l}-1+{log_3}{a_{n-1}}，\;n=2k\\{3^{{a_{n-1}}}}，n=2k+1\end{array}$（k∈N^*），
∴n=2k（k∈N^*）時，a_2k=-1+log₃a_2k-1，a₂=3；n=2k+1時a_2k+1=${3}^{{a}_{2k}}$．
∴a_2k+1=${3}^{-1+lo{g}_{3}{a}_{2k-1}}$=$\frac{1}{3}{a}_{2k-1}$，a_2k=-1+a_2k-2．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{3}$；偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為-1．
∴S_n=S_2k=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）
=$\frac{81[1-（\frac{1}{3}）^{k}]}{1-\frac{1}{3}}$+3k+$\frac{k（k-1）}{2}×（-1）$
=$\frac{243}{2}$$[1-（\frac{1}{3}）^{k}]$-$\frac{1}{2}$$（k-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{49}{8}$≤126．（k=5時取等號）．
S_n=S_2k-1=S_2k-2+a_2k-1=$\frac{243}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{k-1}]$-$\frac{1}{2}（k-\frac{9}{2}）^{2}$+$\frac{49}{8}$+$81×（\frac{1}{3}）^{k-1}$≤127，k=5時取等號．
綜上可得：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最大值為127．
故答案為：127．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．