Question

4．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a²=b²+c²-bc，a=3，則△ABC 的周長的最大值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 6
• C． $\sqrt{3}$
• D． 9

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根據(jù)正弦定理表示出b和c，代入三角形的周長a+b+c中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到周長的最大值．

解答 解：∵a²=b²+c²-bc，可得：bc=b²+c²-a²，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴由a=3，結(jié)合正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
則a+b+c=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC
=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=3+3$\sqrt{3}$sinB+3cosB
=3+6sin（B+$\frac{π}{6}$），
可知周長的最大值為9．
故選：D．

點評 此題考查學(xué)生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．