Question

20．已知A，B，C，D是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，$A（\frac{π}{6}，0）$，B為y軸上的點(diǎn)，D為圖象上的最低點(diǎn)，C為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與E關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，$\overrightarrow{ED}$在x軸上的投影為$\frac{π}{12}$，則$f（-\frac{π}{6}）$的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{ED}$在x軸上的投影為$\frac{π}{12}$，得到$OF=\frac{π}{12}$，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別求出ω 和φ的值即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)在點(diǎn)B左側(cè)圖象上的與之相鄰的最高點(diǎn)為G，
則由$\overrightarrow{ED}$在x軸上的投影為$\frac{π}{12}$，知$\overrightarrow{GB}$在x軸上的投影為$\frac{π}{12}$，即|OF|=$\frac{π}{12}$，
又∵$A（\frac{π}{6}，0）$，∴|AF|=$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$=$\frac{T}{4}$，
即函數(shù)的周期T=π，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴?=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
所以$A（\frac{π}{6}，0）$，
∴sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=0
即$\frac{π}{3}$+φ=kπ，
即φ=kπ-$\frac{π}{3}$，
∵0＜φ＜π，
∴當(dāng)k=1時(shí)，φ=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，∴$f（x）=sin（2x+\frac{2π}{3}）$，
∴$f（-\frac{π}{6}）=sin\frac{π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象確定ω 和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．