Question

12．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E為PD的中點．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PDC；
（Ⅱ）求直線EC與平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥DC，DC⊥AC，從而DC⊥平面PAC，由此能證明平面PAC⊥平面PDC．
（Ⅱ）取PC中點F，則EF∥DC，從而EF⊥平面PAC，∠ECF為直線EC與平面PAC所成的角，由此能求出直線EC與平面PAC所成角的正切值．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，
又AC²+CD²=2+2=AD²，
∴DC⊥AC，
∵AC∩PA=A，
∴DC⊥平面PAC，又DC?平面PDC，
∴平面PAC⊥平面PDC．
解：（Ⅱ）取PC中點F，則EF∥DC，
由（Ⅰ）知DC⊥平面PAC，則EF⊥平面PAC，
∠ECF為直線EC與平面PAC所成的角
CF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan$∠ECF=\frac{EF}{FC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即直線EC與平面PAC所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．