Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+（3a-1）x+1，g（x）=alnx-x+1．
（1）若f（x）在R上不單調(diào)，求a的取值范圍．
（2）若當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．
（3）若a≥0，令F（x）=f（x）-g（x），試討論F（x）的導(dǎo)函數(shù)F′（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，
（2）根據(jù)不等式恒成立以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，
（3）求出函數(shù)F（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義進(jìn)行討論求解．

解答 解：（1）f'（x）=x²-3x+3a-1，△=9-4（3a-1）=-12a+13…（1分）
由于f（x）在R上不單調(diào)，則有△＞0，即-12a+13＞0，
故$a＜\frac{13}{12}$，因此a的取值范圍為$（{-∞，\frac{13}{12}}）$…（2分）
（2）$g'（x）=\frac{a}{x}-1=\frac{a-x}{x}$
①當(dāng)a≤1時(shí)，由于x≥1，所以g'（x）≤0，則g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，從而當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）≤g（1）=0，滿足題意…（3分）
②當(dāng)a＞1時(shí)，由于x≥1，則當(dāng)x∈（1，a）時(shí)，有g(shù)'（x）＞0，
所以g（x）在（1，a）上單調(diào)遞增，故g（a）＞g（1）=0，不合題意．
綜上所述a的取值范圍為（-∞，1]…（4分）
（3）定義域?yàn)椋?，+∞）$F（x）=f（x）-g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+（3a-1）x+1-[{alnx-x+1}]$=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+3ax-alnx$$F'（x）=\frac{{{x^3}-3{x^2}+3ax-a}}{x}$…（5分）
令h（x）=x³-3x²+3ax-a，則h'（x）=3x²-6x+3a=3（x²-2x+a）
①當(dāng)a≥1時(shí)，△=4-4a≤0，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）≥0恒成立，
從而h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由于h（1）=2a-2≥0，$h（\frac{1}{3}）=-\frac{8}{27}＜0$，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的${x_0}∈（\frac{1}{3}，1]$，使得h（x₀）=0，即F'（x₀）=0…（7分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，△=4-4a＞0，令h'（x）=0，即x²-2x+a=0，
記方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，（x₁＜x₂）由于x₁+x₂=2，x₁x₂=a＞0，則x₂＞x₁＞0．h（x），h'（x）隨x的變化情況如下；

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
h（x）	+	0	_	0	+
h'（x）	單增	極大值	單減	極小值	單增

…（8分）
由于${x_1}^2-2{x_1}+a=0$，則${x_1}^2=2{x_1}-a$，從而$h（{x_1}）={x_1}^3-3{x_1}^2+3a{x_1}-a$=${x_1}（2{x_1}-a）-3{x_1}^2+3a{x_1}-a$=$-{x_1}^2+2a{x_1}-a$=a-2x₁+2ax₁-a=2（a-1）x₁＜0
同理h（x₂）=2（a-1）x₂＜0，…（9分）
（i）當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，h（x）＜h（x₁）＜0，不存在零點(diǎn)．
（ii）當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，h（x）單增，又h（x₂）＜0，h（3）=8a＞0，
由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的x₀∈（x₂，3），使得h（x₀）=0，即F'（x₀）=0…（10分）
③當(dāng)a=0時(shí)，$F'（x）=\frac{{{x^3}-3{x^2}}}{x}={x^2}-3x=0$，可知x=3，F(xiàn)'（x）存在唯一的零點(diǎn)3．
…．（11分）
綜上所述，F(xiàn)'（x）存在唯一的零點(diǎn)…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)單調(diào)性，最值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．