Question

2．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n+2，則f（a_n）=（　　）

• A． 0
• B． 0或1
• C． -1或0
• D． 1或-1

Answer 1

分析 由滿足f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），因此函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)．由S_n=2a_n+2，利用遞推關(guān)系可得a_n．再利用周期性與奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0即可得出．

解答 解：由滿足f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），因此函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)．
∵S_n=2a_n+2，
∴a₁=2a₁+2，解得a₁=-2．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+2-（2a_n-1+2），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為-2，公比為2．
∴a_n=-2×2^n-1=-2ⁿ．
則f（a_n）=f（-2ⁿ）=-f（2ⁿ）=-f（0），
又函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0．
∴f（a_n）=-f（0）=0，
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、函數(shù)的奇偶性與周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．