Question

在實數(shù)集R中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數(shù)排了一個“序”類似的，我們在平面向量集D={

a

|

a

=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義在一個稱“序”的關系，記為“＞＞”，定義如下：對于任意兩個向量

a1

=（x₁，y₁）

a

₂=（x₂，y₂），“

a

₁＞＞

a

₂”當且僅當“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，按上述定義的關系“＞＞”給出如下四個命題：
①若

e

₁=（1，0），

e

₂=（0，1），

0

=（0，0），則

e

₁＞＞

e

₂＞＞

0

②若

a

₁＞＞

a

₂，

a

₂＞＞

a

₃，則

a

₁＞＞

a

₃
③若

a

₁＞＞

a

₂，則對于任意

a

∈D，

a

₁+

a

＞＞

a

₂+

a

④對于任意向量

a

＞＞

0

，

0

=（0，0），若

a

₁＞＞

a

₂，則

a

•

a

₁=

a

•

a

₂
其中真命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：平面向量及應用,簡易邏輯

分析：①由

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），橫坐標1＞0，可得

e1

＞＞

e2

，而

0

=（0，0），橫坐標0=0，縱坐標1＞0，即可判斷

e1

＞＞

e2

＞＞

0

；
②若

a1

＞＞

a2

，則“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，若

a2

＞＞

a3

，則“x₂＞x₃”或“x₂=x₃”且“y₂＞y₃”，利用不等式的性質即可判斷出正誤；
③若

a1

＞＞

a2

，則“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，對于任意

a

=（x，y）∈D，利用不等式的性質可得x₁+x＞x₂+x，或x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，
即可判斷出正誤；
④對于任意向量

a

＞＞

0

，

0

=（0，0），若

a1

＞＞

a2

，取

a1

=（4，3），

a2

=（2，1），

a

=（1，1），利用數(shù)量積運算可得：

a

•

a1

=7，

a

•

a2

=3，

a

•

a1

≠

a

•

a2

，即可判斷出正誤．

解答： 解：①∵

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），橫坐標1＞0，∴

e1

＞＞

e2

，而

0

=（0，0），橫坐標0=0，縱坐標1＞0，則

e1

＞＞

e2

＞＞

0

；
②若

a1

＞＞

a2

，則“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，若

a2

＞＞

a3

，則“x₂＞x₃”或“x₂=x₃”且“y₂＞y₃”，可得“x₁＞x₃”或“x₁=x₃，y₁＞y₃”，則

a1

＞＞

a3

．因此正確．
③若

a1

＞＞

a2

，則“x₁＞x₂”或“x₁=x₂”且“y₁＞y₂”，對于任意

a

=（x，y）∈D，則x₁+x＞x₂+x，或x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，因此

a1

+

a

＞＞

a2

+

a

．
因此正確；
④對于任意向量

a

＞＞

0

，

0

=（0，0），若

a1

＞＞

a2

，取

a1

=（4，3），

a2

=（2，1），

a

=（1，1），則

a

•

a1

=7，

a

•

a2

=3，因此

a

•

a1

≠

a

•

a2

，不正確．
其中真命題的序號為 ①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了新定義、向量的運算、實數(shù)的性質、不等式的基本性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．