Question

5．如圖，ABCD是平行四邊形，已知AB=2BC=4，BD=2$\sqrt{3}$，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：BD⊥CE；
（Ⅱ）若BE=CE=$\sqrt{10}$，求平面ADE與平面BCE所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明BD⊥CE；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可求二面角的余弦值．

解答 證明：∵AB=2BC=4，BD=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4，BC=2，
則BD²+AD²=AB²，
則△ADB是直角三角形，則AD⊥BD，則BC⊥BD，
∵BE=CE，
∴取BC的中點(diǎn)0，
則EO⊥BC，
∵平面BCE⊥平面ABCD．
∴EO⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴EO⊥BD，
∵BC∩E=O，
∴BD⊥平面BCE，
則BD⊥CE；
（Ⅱ）若BE=CE=$\sqrt{10}$，
則EO=$\sqrt{B{E}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{10-1}=\sqrt{9}$=3，
建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP，OB，OE分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則E（0，0，3），D（2$\sqrt{3}$，1，0），A（2$\sqrt{3}$，3，0），
則$\overrightarrow{DA}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-2$\sqrt{3}$，-1，3），
設(shè)平面ADE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DA}$=2y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DE}$=-2$\sqrt{3}$x-y+3z=0，
則y=0，-2$\sqrt{3}$x+3z=0，
令x=1，則z=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
平面BCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{1+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{33}}$=$\frac{\sqrt{33}}{11}$，
即平面ADE與平面BCE所成二面角的平面角的余弦值$\frac{\sqrt{33}}{11}$．

點(diǎn)評 本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．