3.某次知識競賽中,從6道備選題中一次性隨機抽取3道,并獨立完成所抽取的3道題.某選手能正確完成其中4道題,規(guī)定至少正確答對其中2道題目便可過關.
(1)求該選手能過關的概率;
(2)記所抽取的3道題中,該選手答對的題目數(shù)為X,寫出X的概率分布列,并求E(X).

分析 (1)記甲選手能過關為事件A,先求出基本事件總數(shù),再求出事件A包含的基本事件數(shù),由此能求出該選手能過關的概率.
(2)X的所有可能取值為1,2,3.分別求出相應的概率,由此能求出X的分布列和E(X).

解答 解:(1)記甲選手能過關為事件A,
則基本事件總數(shù)n=C${\;}_{6}^{3}$=20,
事件A包含的基本事件數(shù)m=C${\;}_{4}^{3}$+C${\;}_{4}^{2}$C${\;}_{2}^{1}$=16,
所以該選手能過關的概率P(A)=$\frac{m}{n}$=$\frac{4}{5}$.
(2)X的所有可能取值為1,2,3.
P(X=1)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$,
P(X=2)=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$,
P(X=3)=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$.
則X的分布列為

X123
P$\frac{1}{5}$$\frac{3}{5}$$\frac{1}{5}$
所以E(X)=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2.

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意排列組合知識的合理運用.

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