Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$|≠0，且關于x的函數(shù)f（x）=2x³-3|$\overrightarrow{a}$|x²+6$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$x+5在實數(shù)集R上有極值，則向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{π}{3}$，π）
• B． （$\frac{π}{3}$，π]
• C． [$\frac{π}{3}$，π]
• D． （0，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 由已知條件得f′（x）=0中，△＞0，由此能求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的取值范圍．

解答 解：∵關于x的函數(shù)f（x）=2x³-3|$\overrightarrow{a}$|x²+6$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$x+5在R上有極值，
∴f′（x）=6x²-6|$\overrightarrow{a}$|x+6$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0中，即x²-|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0
△=|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0，
∴|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ＞0，
由|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$|≠0，得cosθ＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜θ≤π．
故選：B．

點評 本題考查向量的夾角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式的合理運用．