Question

20．一個直徑AB=2的半圓，過A作這個圓所在平面的垂線，在垂線上取一點S，使AS=AB，C為半圓上一個動點，N，M分別為A在SC，SB上的射影．當三棱錐S-AMN的體積最大時，∠BAC的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 推導出SA⊥BC，BC⊥AC，從而BC⊥平面SAC，再推導出AN⊥平面SBC，得AN⊥SB，又AM⊥SB，從而SM為三棱錐S-AMN中平面AMN上的高，進而得到當AN=MN=1時，△AMN的面積S取得最大值，由此能求出當三棱錐S-AMN的體積最大時∠BAC的余弦值．

解答 解：如圖所示，SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以SA⊥BC，又由BC⊥AC，SA∩AC=A，
SA，AC?平面SAC，所以BC⊥平面SAC，
又由AN?平面SAC，所以BC⊥AN，
又由AN⊥SC，SC∩BC=C，SC，BC?平面SBC，
所以AN⊥平面SBC，
又由SB?平面SBC，所以AN⊥SB，
又由AM⊥SB，AN∩AM=A，AM，AN?平面AMN，
所以SB⊥平面AMN，即SM為三棱錐S-AMN中平面AMN上的高，
因為SA=AB=2，所以AM=SM=$\sqrt{2}$，
而AN⊥MN，故△AMN是斜邊為$\sqrt{2}$的直角三角形，
故當AN=MN=1時，△AMN的面積S取得最大值，
∵SA=2，AN=1，AN⊥SC，∴∠ASC=30°，∴SC=2AC，
∴SA²=（2AC）²-AC²，即4=3AC²，解得AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以cos$∠BAC=\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故當三棱錐S-AMN的體積最大時∠BAC的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查當三棱錐的體積最大時角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．