Question

【題目】求所有正整數(shù)，使得給定序列，，中的每一項(xiàng)都是平方數(shù)。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解法1 由已知可得，.

則.

故.

當(dāng)時(shí)，有.

當(dāng)時(shí)，有.

當(dāng)時(shí)，.

由于與互質(zhì)，則與是一組本原勾股數(shù).

因此，存在互質(zhì)的正整數(shù)，且，

使得（1）

（2）

第（1）種情形中，由式①、②得. ④

由上式知為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為奇數(shù).

于是，由式②及，知. ⑤

再利用式④得.

則， ⑥

其中，是相鄰的兩個(gè)整數(shù).

由于它們互質(zhì)，則.

于是，.

若，則.

此式具有的形式，已證明它沒有滿足的整數(shù)解，故，矛盾.

若，則.

此式具有的形式，也已證明它沒有滿足的整數(shù)解，故.

于是，.

由式④得.

由式②知，從而，.

第（2）種情形下，沒有滿足條件的正整數(shù)解.

綜上，找到了關(guān)于的所有選擇

.

當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)各項(xiàng)均為平方數(shù)的周期序列：4,4,0,4,4,0，….

當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)各項(xiàng)均為平方數(shù)4的常數(shù)序列：4,4,4,4，….

當(dāng)時(shí)，，

，

，

，

，

……

由此可猜測(cè)此序列是斐波那契數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的平方的4倍，即

.

如果是斐波那契數(shù)列，易知及，

故為平方數(shù).

因此，，

即為平方數(shù).

這說(shuō)明符合題設(shè)要求.

綜上，所有的取值為1,3,9.

解法2 由，，

得.

于是，是偶數(shù)，又是平方數(shù).

故可設(shè).

從而，.

則.

故，

.

由是平方數(shù)，可設(shè). ①

當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，，

，

.

從而，數(shù)列的周期數(shù)列：

4,4,0,4,4,0，….

因此，滿足條件.

當(dāng)時(shí)，.

從而，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列； 4,4,4，….

因此，滿足條件.

當(dāng)時(shí)，有式①知， ②

.

故 .

從而，，即式②等號(hào)成立.

于是.此時(shí)，.

以下同解法1.