【題目】設數(shù)列的前n項和為,已知,().
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列滿足:,.
① 求數(shù)列的通項公式;
② 是否存在正整數(shù)n,使得成立?若存在,求出所有n的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,首項為1,公比為2.(2),
【解析】
(1)由題設的遞推關系式,得到(),即可證得數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)① 由(1)知,,化簡得,則數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,即可求得.
②利用乘公比錯位相減法,求得,進而得到,顯然當 時,上式成立,設,由,所以數(shù)列單調(diào)遞減,進而得到結論.
(1)解:由,得(),
兩式相減,得,即().
因為,由,得,所以,
所以對任意都成立,
所以數(shù)列為等比數(shù)列,首項為1,公比為2.
(2)① 由(1)知,,
由,得,
即,即,
因為,所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
所以,
所以.
② 設,
則,
所以,
兩式相減,
得 ,
所以.
由,得,即.
顯然當時,上式成立,
設(),即.
因為,
所以數(shù)列單調(diào)遞減,
所以只有唯一解,
所以存在唯一正整數(shù),使得成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了解高一新生對文理科的選擇,對1 000名高一新生發(fā)放文理科選擇調(diào)查表,統(tǒng)計知,有600名學生選擇理科,400名學生選擇文科.分別從選擇理科和文科的學生隨機各抽取20名學生的數(shù)學成績得如下累計表:
分數(shù)段 | 理科人數(shù) | 文科人數(shù) |
正 | 正 | |
正 | ||
(1)從統(tǒng)計表分析,比較選擇文理科學生的數(shù)學平均分及學生選擇文理科的情況,并繪制理科數(shù)學成績的頻率分布直方圖.
(2)根據(jù)你繪制的頻率分布直方圖,估計意向選擇理科的學生的數(shù)學成績的中位數(shù)與平均分.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把物體放在冷空氣中冷卻,如果物體原來的溫度是,空氣的溫度是,則1min后物體的溫度可由公式求得,其中k是常數(shù),把溫度是的物體放在15℃的空氣中冷卻,1 min后,物體的溫度是.
(1)求出k的值;
(2)計算開始冷卻多久后,上述物體的溫度分別是;
(3)判斷上述物體最終能否冷卻到12℃,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在等比數(shù)列{an}中,=2,,=128,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=2,且{}為等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知常數(shù)且,在數(shù)列中,首項,是其前項和,且,.
(1)設,,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出的通項公式;
(2)設,,證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項公式;
(3)若當且僅當時,數(shù)列取到最小值,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:的焦點為F1(–1、0),
F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:交于點A,與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B,連結BF2交橢圓C于點E,連結DF1.已知DF1=.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求點E的坐標.
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【題目】已知函數(shù)
(I)若,函數(shù)的極大值為,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)若對任意的 在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
()若是函數(shù)的一個極值點,求實數(shù)的值.
()設,當時,函數(shù)的圖象恒不在直線的上方,求實數(shù)的取值范圍.
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