Question

【題目】在正四棱錐中，E，F分別為棱VA，VC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面ABCD；

（2）求證：平面VBD⊥平面BEF．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）由題意E，F(xiàn)分別為棱VA，VC的中點(diǎn)，得EF∥AC，利用線面平行的判定定理，即可證得EF∥平面ABCD．

（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則，進(jìn)而得，進(jìn)而證得

EF⊥VO，EF⊥BD，由線面垂直的判定定理，得到，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面VBD⊥平面BEF．

（1）因為E，F分別為棱VA，VC的中點(diǎn)，

所以EF∥AC，

又因為，，

所以EF∥平面ABCD．

（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)．

因為為正四棱錐，

所以．

又，所以．

又因為，EF∥AC，

所以EF⊥VO，EF⊥BD．

又，，

所以，

又，所以平面VBD⊥平面BEF．