Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1（–1、0），

F2（1，0）．過(guò)F2作x軸的垂線(xiàn)l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．已知DF1=．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；

(2)解法一：由題意首先確定直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓的方程，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)BF2與橢圓的方程即可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)；

解法二：由題意利用幾何關(guān)系確定點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，然后代入橢圓方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo).

（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.

因?yàn)?/span>F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.

又因?yàn)?/span>DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，

因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解法一：

由（1）知，橢圓C：，a=2，

因?yàn)?/span>AF2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.

將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.

因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1，4).

又F1(-1，0)，所以直線(xiàn)AF1：y=2x+2.

由，得，

解得或.

將代入，得，

因此.又F2(1，0)，所以直線(xiàn)BF2：.

由，得，解得或.

又因?yàn)?/span>E是線(xiàn)段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.

將代入，得.因此.

解法二：

由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.

因?yàn)?/span>BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，

從而∠BF1E=∠B.

因?yàn)?/span>F2A=F2B，所以∠A=∠B，

所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.

因?yàn)?/span>AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.

因?yàn)?/span>F1(-1，0)，由，得.

又因?yàn)?/span>E是線(xiàn)段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.

因此.