Question

14．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于焦距的$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$倍，則雙曲線的離心率為2，如果雙曲線上存在一點(diǎn)P到雙曲線的左右焦點(diǎn)的距離之差為4，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)為$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于焦距的$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$倍，得到c=2a，根據(jù)P到雙曲線的左右焦點(diǎn)的距離之差為4，得到2a=4，然后進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵右焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，若右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于焦距的$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$倍，
∴b=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$•2c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
平方得b²=$\frac{3}{4}$c²=c²-a²，
即a²=$\frac{1}{4}$c²，
則c=2a，則離心率e=$\frac{c}{a}=2$，
∵雙曲線上存在一點(diǎn)P到雙曲線的左右焦點(diǎn)的距離之差為4，
∴2a=4，則a=2，
從而$b=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$．
故答案為：2，$4\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的離心率以及虛軸的計(jì)算，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．