Question

16．（1）化簡(jiǎn)求值：$\frac{{sin（π-α）cos（π+α）cos（\frac{3π}{2}+α）}}{cos（3π-α）sin（3π+α）}$；
（2）設(shè)sinα=-$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，-$\frac{π}{2}$＜α＜0，0＜β＜$\frac{π}{2}$，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值得答案；
（2）由sinα的值和α的范圍求出cosα的值，再求出tanα的值，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求出tan（α+β）的值，進(jìn)一步由α和β的范圍即可求出α+β的值．

解答 解：（1）$\frac{{sin（π-α）cos（π+α）cos（\frac{3π}{2}+α）}}{cos（3π-α）sin（3π+α）}$
=$\frac{（sinα）（-cosα）（sinα）}{（-cosα）（-sinα）}$=-sinα；
（2）∵$sinα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，-\frac{π}{2}＜α＜0$，
∴$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，tanα=-2$．
∵$tan（α+β）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-2+\frac{1}{3}}{1-（-2）×\frac{1}{3}}=-1$，
又∵-$\frac{π}{2}$＜α＜0，0＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{2}＜α+β＜\frac{π}{2}$，即$α+β=-\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．