Question

6．（1）已知（2-$\sqrt{3}$x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰，求 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²的值；
（2）已知（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求n．

Answer 1

分析 （1）分別令x=1，x=-1，代入已知的等式，化簡變形可得（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²的值．
（2）由條件利用（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展開式的通項公式，可得$C_n^8+C_n^{10}=2C_n^9$，計算求得n的值．

解答 解：（1）令x=1，得${（2-\sqrt{3}）^{50}}={a_0}+{a_1}+{a_2}+…+{a_{50}}；①$，
令x=-1，得${（2+\sqrt{3}）^{50}}={a_0}-{a_1}+{a_2}-…+{a_{50}}；②$，
把①②相乘得（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀）=（a₀-a₁+a₂ -a₃+a₄+…-a₄₉+a₅₀）
=（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）² =1⁵⁰=1．
（2）由于（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展開式的通項公式為 ${T_{r+1}}=C_n^r{x^{\frac{r}{2}}}$，由題知$C_n^8+C_n^{10}=2C_n^9$，
即 $\frac{n!}{8!（n-8）!}$+$\frac{n!}{10!（n-10）!}$=2•$\frac{n!}{9!（n-9）!}$，化簡可的n²-37n+322=0，求得n=14，或 n=23．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案；還考查了二項展開式的通項公式，屬于中檔題．