Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)P（${\frac{3}{4}$，m）到準(zhǔn)線的距離與到原點(diǎn)O的距離相等，拋物線的焦點(diǎn)為F．
（1）求拋物線的方程；
（2）若A為拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)O），點(diǎn)A處的切線交x軸于點(diǎn)B，過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)E．試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得點(diǎn)$P（{\frac{3}{4}，m}）$在線段OF的中垂線上，可得p=3，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（2）四邊形AEBF為菱形．由拋物線的對(duì)稱性，設(shè)點(diǎn)$A（{\frac{1}{6}y_0^2，{y_0}}）$在x軸的上方，求出拋物線的切線的斜率和切線的方程，令y=0，求得B的坐標(biāo)，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由向量相等即可得到四邊形的形狀．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意點(diǎn)$P（{\frac{3}{4}，m}）$到準(zhǔn)線的距離為|PO|，
由拋物線的定義，可得點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為|PF|，
即有|PO|=|PF|，即點(diǎn)$P（{\frac{3}{4}，m}）$在線段OF的中垂線上，
則$\frac{p}{4}$=$\frac{3}{4}$，解得p=3，則拋物線的方程為y²=6x；
（2）四邊形AEBF為菱形．
證明：拋物線y²=6x的焦點(diǎn)為F（$\frac{3}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{3}{2}$，
由拋物線的對(duì)稱性，設(shè)點(diǎn)$A（{\frac{1}{6}y_0^2，{y_0}}）$在x軸的上方，
由y²=6x，兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得，2yy′=6，即y′=$\frac{3}{y}$，
可得點(diǎn)A處的切線的斜率為$\frac{3}{y_0}$，
則點(diǎn)A處切線的方程為$y-{y_0}=\frac{3}{y_0}（{x-\frac{1}{6}y_0^2}）$，
令上式中y=0，得$x=-\frac{1}{6}y_0^2$，
可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（{-\frac{1}{6}y_0^2，0}）$，又$E（{-\frac{3}{2}，{y_0}}），F(xiàn)（{\frac{3}{2}，0}）$，
所以$\overrightarrow{FA}=（{\frac{1}{6}y_0^2-\frac{3}{2}，{y_0}}），\overrightarrow{BE}=（{\frac{1}{6}y_0^2-\frac{3}{2}，{y_0}}）$，
所以$\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{BE}$，所以FA∥BE，又AE∥FB，
故四邊形AEBF為平行四邊形，
再由拋物線的定義，得AF=AE，
所以四邊形AEBF為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用定義法解題，考查直線與拋物線的位置關(guān)系：相切，同時(shí)考查直線方程的運(yùn)用，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．