Question

12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的n∈N^*，$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 先驗(yàn)證n=1時(shí)結(jié)論成立，再假設(shè)n=k結(jié)論成立，驗(yàn)證n=k+1時(shí)是否成立即可．

解答 解：證明  （1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$，
右邊=$\frac{1}{2×1+1}$=$\frac{1}{3}$，左邊=右邊，
所以等式成立．
（2）假設(shè)n=k（k∈N₊）時(shí)等式成立，即有$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k}{2k+1}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k（2k+3）+1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{{2{k^2}+3k+1}}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{（k+1）（2k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k+1}{2k+3}$
=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
由（1）（2）可知，對(duì)一切n∈N₊等式都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，掌握證明步驟是關(guān)鍵．