Question

2．如圖，在五面體ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE∥CF，△ABC為等邊三角形，AB=2$\sqrt{3}$，BE=2，AD=3，CF=4，M為EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求直線CD與平面DEF所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OM，則可證四邊形OADM是平行四邊形，于是OA∥DM，得出DM∥平面ABC；
（2）過C作CN⊥EF于N，連DN，則可證CN⊥平面DEF，于是∠CDN為所求角，利用勾股定理和等面積法求出CN，CD，DN，即可得出tan∠CDN．

解答 （1）證明：取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OM
∵OM為梯形CBEF的中位線，∴OM∥CF，且OM═$\frac{1}{2}$（BE+CF）=3，
又CF∥AD，且AD=3，∴OM$\stackrel{∥}{=}$AD，
∴四邊形OADM為平行四邊形，∴DM∥OA，
又DM?平面ABC，OA?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
（2）解：∵AD⊥平面ABC，AD∥CF，
∴CF⊥平面ABC，∴CF⊥AO．
∵△ABC是等邊三角形，∴BC⊥AO，
∴AO⊥平面BCFE，又DM∥OA，
∴DM⊥平面BCFE，又DM?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面BCFE．
在面BCFE中，過C作CN⊥EF，連DN，則CN⊥平面DEF，
∴∠CDN為直線CD和平面DEF所成的角．
∵EF=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（4-2）^{2}}$=4，S_△CEF=$\frac{1}{2}×EF×CN$=$\frac{1}{2}×CF×BC$，
∴CN=$\frac{CF×BC}{EF}$=2$\sqrt{3}$，
∵CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{21}$，∴DN=$\sqrt{C{D}^{2}-C{N}^{2}}$=3．
∴tan∠CDN=$\frac{CN}{DN}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴直線CD與平面DEF所成角的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，線面角的作法與計(jì)算，屬于中檔題．