Question

如圖1，直角梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC=90°，點M，N分別在線段AB，CD上，且MN⊥AB，BC=1，MB=2，∠CBM=60°，現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使DN⊥NC，如圖2．
（Ⅰ）求證：平面AMND⊥平面MNCB；
（Ⅱ）當直線DB與平面MNCB所成角的大小為30°時，求三棱錐C-DNB的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得DN⊥MN，又DN⊥NC，MN∩NC=N，從而DN⊥平面MNCB，由此能證明平面AMND⊥平面MNCB．
（Ⅱ）以N為原點，NM為x軸，NC為y軸，ND為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐C-DNB的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵直角梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC=90°，
點M，N分別在線段AB，CD上，且MN⊥AB，
∴DN⊥MN，又DN⊥NC，MN∩NC=N，
∴DN⊥平面MNCB，
又DN?平面AMND，∴平面AMND⊥平面MNCB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BM⊥平面MNCB，
∵直線DB與平面MNCB所成角的大小為30°，∴∠BDM=30°，
由已知得BM=2，CN=

3

2

，BC=1，BD=4，DM=2

3

，
MN=

3

2

，DN=

3 5

2

，BN=

19

2

，
以N為原點，NM為x軸，NC為y軸，ND為z軸，
建立空間直角坐標系，
則N（0，0，0），D（0，0，

3 5

2

），B（

3

2

，2，0），C（0，

3

2

，0），

NB

=（

3

2

，2，0），

ND

=（0，0，

3 5

2

），

NC

=(0，

3

2

，0)，
設(shè)平面NBD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • NB = 3 2 x+2y=0 n • ND = 3 5 2 z=0

，取x=4

3

，得

n

=（4

3

，-3，0），
∴C到平面BDN的距離d=

| NC • n |

| n |

=

|- 9 2 |

48+9

=

3 57

38

，
S△BDN=

1

2

×DN×BN=

1

2

×

3 5

2

×

19

2

=

3 95

8

，
∴三棱錐C-DNB的體積V=

1

3

×S△BDN×d=

1

3

×

3 95

8

×

3 57

38

=

3 5415

304

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．