Question

19．邊長(zhǎng)為2的兩個(gè)等邊△ABD，△CBD所在的平面互相垂直，則四面體ABCD的外接球的表面積為（　　）

• A． $\sqrt{6}π$
• B． 6π
• C． $\frac{20π}{3}$
• D． 16π

Answer 1

分析 由題意，正三角形的高為$\sqrt{3}$，外接圓的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，設(shè)球心到平面CBD的距離為d，則R²=d²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（$\sqrt{3}$-d）²，求出d，R，即可求四面體ABCD的外接球的表面積．

解答 解：由題意，正三角形的高為$\sqrt{3}$，外接圓的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)球心到平面CBD的距離為d，則R²=d²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（$\sqrt{3}$-d）²，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴R²=$\frac{5}{3}$，
∴四面體ABCD的外接球的表面積為4πR²=$\frac{20π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體ABCD的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定面體ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．