Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，過右焦點F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A，B兩點，AB的垂直平分線交x軸于N，則|NF|：|AB|等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由選項均為具體值，可知本題適合于特值法．不妨取直線的斜率為1．由此推導(dǎo)出|NF|：|AB|的值．

解答 解：不妨取直線的斜率為1，
∵右焦點F（2，0），∴直線AB的方程為y=x-2．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得14x²-36x-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18}{7}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{9}{14}$，
${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}-4=-\frac{10}{7}$，
∴AB中點坐標為（$\frac{9}{7}，-\frac{5}{7}$），則AB的中垂線方程為y+$\frac{5}{7}$=-（x-$\frac{9}{7}$），
令y=0，得x=$\frac{4}{7}$，∴點N的坐標（$\frac{4}{7}$，0）．
∴|NF|=$\sqrt{（\frac{4}{7}-2）^{2}}=\frac{10}{7}$，|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{（\frac{18}{7}）^{2}+4×\frac{9}{14}}$=$\frac{30}{7}$，
∴|NF|：|AB|=$\frac{1}{3}$，
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．