Question

10．已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）是橢圓C₁與雙曲線C₂共同的焦點(diǎn)，橢圓的一個短軸端點(diǎn)為B，直線F₁B與雙曲線的一條漸近線平行，橢圓C₁與雙曲線C₂的離心率分別為e₁，e₂，則e₁+e₂取值范圍為（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． （4，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的長軸為2a，短軸為2b；雙曲線的實(shí)軸為2a'，虛軸為2b'．由橢圓、雙曲線的基本概念，結(jié)合直線平行的條件，建立關(guān)系式化簡可得$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{a{'}^{2}}$，即有（$\frac{c}{a'}$）²=（$\frac{a}{c}$）²，可得e₁•e₂=1．由此結(jié)合基本不等式求最值，即可算出e₁+e₂取值范圍．

解答 解：設(shè)橢圓的長軸為2a，短軸為2b；雙曲線的實(shí)軸為2a'，虛軸為2b'，
∵橢圓的一個短軸端點(diǎn)為B，直線F₁B與雙曲線的一條漸近線平行，
∴$\frac{c}$=$\frac{b'}{a'}$，平方可得$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{b{'}^{2}}{a{'}^{2}}$
由此得到$\frac{^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{b{'}^{2}+a{'}^{2}}{a{'}^{2}}$，
即$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{a{'}^{2}}$，
也即（$\frac{c}{a'}$）²=（$\frac{a}{c}$）²，可得e₁•e₂=1，
∵e₁、e₂都是正數(shù)，
∴e₁+e₂≥2$\sqrt{{e}_{1}{e}_{2}}$=2，且等號不能成立．
因此e₁+e₂取值范圍為（2，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題給出橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，在橢圓的短軸端點(diǎn)B與F₁的連線平行雙曲線的一條漸近線情況下，求離心率之和的范圍．著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．