Question

8．已知直線系M：（x-3）cosθ+ysinθ=1（0≤θ≤2π），則下列命題正確的是②③⑤⑥
①M(fèi)中所有直線均過一個(gè)定點(diǎn)
②存在定點(diǎn)P不在M中任意一條直線上
③對(duì)于任意正整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形其所有邊均在M中直線上
④M中的直線所圍成的正三角形面積都相等
⑤存在一個(gè)圓與所用直線不相交
⑥存在一個(gè)圓與所有直線相切．

Answer 1

分析 已知直線M：（x-3）cosθ+ysinθ=1（0≤θ≤2π），則點(diǎn)（3，0）到直線的距離d=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=1．因此直線系表示的是（x-3）²+y²=1的圓的所有切線．此可以判斷給出命題的真假．

解答 解：已知直線M：（x-3）cosθ+ysinθ=1（0≤θ≤2π），則點(diǎn)（3，0）到直線的距離d=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=1．
因此直線系表示的是（x-3）²+y²=1的圓的所有切線．
據(jù)此可以判斷：①M(fèi)中所有直線均過一個(gè)定點(diǎn)，不正確；
②存在定點(diǎn)P（例如上述圓內(nèi)的點(diǎn)）不在M中任意一條直線上，正確；
③對(duì)于任意正整數(shù)n（n≥3），由于上述給出的圓有外切正多邊形，因此存在正n邊形其所有邊均在M中直線上，正確；
④M中的直線所圍成的正三角形：一種是圓的內(nèi)接正三角形，一種是圓的外切正三角形，其面積肯定不相等，不正確；
⑤存在一個(gè)圓（x-3）²+y²=$\frac{1}{2}$（半徑小于1即可）與所用直線不相交，正確；
⑥存在一個(gè)圓與所有直線相切，正確．
綜上可得：正確的命題是②③⑤⑥．
故答案為：②③⑤⑥．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線系的應(yīng)用、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．