Question

3．定義：若$\frac{f（x）}{{x}^{k}}$在[k，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“k次比增函數(shù)”，其中（k∈N^*）．已知f（x）=e^ax其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若f（x）是“1次比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在[m，m+1]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題知y=$\frac{{e}^{ax}}{x}$在[1，+∞]上為增函數(shù)，則將題目轉(zhuǎn)化成ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
（2）對參數(shù)m討論，利用g（x）的單調(diào)性求解．

解答 解：（1）由題意知，f（x）=e^ax是“1次比增函數(shù)”，
則y=$\frac{{e}^{ax}}{x}$在[1，+∞]上為增函數(shù)，
故（$\frac{{e}^{ax}}{x}$）′=$\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞]上恒成立，
又由e^ax＞0，x²＞0，
則ax-1≥0即a≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞]上恒成立，
又由（$\frac{1}{x}$）_max=1，則a≥1；
于是實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}}{x}$（x≠0），
則g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}•（\frac{x}{2}-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)$\frac{x}{2}$-1＞0，即x＞2時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)$\frac{x-1}{2}$＜0，即x＜0或0＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，
則g（x）的增區(qū)間是（2，+∞），減區(qū)間是（-∞，0），（0，2），
由于m＞0，則m+1＞1，
①當(dāng)m+1≤2，即0＜m≤1時(shí)，g（x）在[m，m+1]（m＞0）上單調(diào)遞減，
則g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$；
②當(dāng)m＜2＜m+1，即1＜m＜2時(shí)，g（x）在[m，2）上單調(diào)遞減，在（2，m+1]上單調(diào)遞增，
則g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$；
③當(dāng)m≥2時(shí)，g（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞增，
則g（x）_min=g（m）=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$；
綜上，①當(dāng)0＜m≤1時(shí)，g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$；
②當(dāng)1＜m＜2時(shí)，g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$；
③當(dāng)m≥2時(shí)，g（x）_min=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$

點(diǎn)評(píng) 本題對學(xué)生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，及不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．