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20.過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的右焦點作傾斜角為45°的弦AB.求:
(1)弦AB的中點C到右焦點F2的距離;
(2)弦AB的長.

分析 (1)求出直線AB的方程,代入雙曲線方程,求出C的坐標,即可求弦AB的中點C到右焦點F2的距離;
(2)利用弦長公式求弦AB的長.

解答 解:(1)由已知,AB的方程為y=x-5,
將其代入$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1,得7x2+90x-369=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-$\frac{90}{7}$,∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{45}{7}$,解得$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{80}{7}$
AB的中點C的坐標為(-$\frac{45}{7}$,-$\frac{80}{7}$).
于是|CF|=$\sqrt{(-\frac{45}{7}-5)^{2}+(-\frac{80}{7}-0)^{2}}$=$\frac{80\sqrt{2}}{7}$;
(2)弦AB的長=$\sqrt{1+1}•\sqrt{(-\frac{90}{7})^{2}+4×\frac{369}{7}}$=$\frac{224}{7}$.

點評 本題考查雙曲線的方程與性質,考查直線與雙曲線的位置關系,考查學生的計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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