Question

13．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），作直線l交橢圓于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，O為坐標(biāo)原點，設(shè)直線l的斜率為k₁，直線OM的斜率為k₂，k₁k₂=-$\frac{2}{3}$．則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)點，代入雙曲線方程，利用點差法，結(jié)合線段AB的中點為M以及k₁k₂=-$\frac{2}{3}$，求得橢圓的離心率$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，且 $\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，兩式相減可得：$\frac{2x{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{2y{（y}_{1}{-y}_{2}）}{^{2}}$=0．
∵直線l的斜率為$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=k₁（k₁≠0），直線OM的斜率為k₂=$\frac{y}{x}$，
∴k₁•k₂=$\frac{y}{x}$•$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{{a}^{2}{-c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線方程的性質(zhì)和應(yīng)用，考查點差法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題