Question

（文科實(shí)驗(yàn)做）已知f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）若曲線y=g（x）有平行于x軸的切線，求a的取值范圍；
（2）若當(dāng)x=-1，y=g（x）取得極值，且g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有兩個(gè)根，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用偶函數(shù)的定義列出恒成立的等式，求出b的值；將點(diǎn)（2，5）代入y=f（x）求出c的值；求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0有實(shí)根，令方程的判別式大于等于0求出a的范圍．
（2）令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為0，求出a的值；令g（x）的導(dǎo)函數(shù)大于0得到g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，可得g（x）在（-2，-1）上為增函數(shù)，在（-1，-

1

2

）上為減函數(shù)，利用g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有兩個(gè)根，求k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c，解得b=0
又曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，5），得2²+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
從而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲線y=g（x）有平行于x軸的切線，即曲線y=g（x）有斜率為0的切線，
∴有g(shù)′（x）=0有實(shí)數(shù)解．
即3x²+2ax+1=0有實(shí)數(shù)解．
此時(shí)有△=4a²-12≥0
解得a≤-

3

或a≥

3

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍：a≤-

3

或a≥

3

；
（2）因x=-1時(shí)函數(shù)y=g（x）取得極值，
故有g(shù)′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
故g（x）在（-2，-1）上為增函數(shù)，在（-1，-

1

2

）上為減函數(shù)
∵g（-2）=0，g（-

1

2

）=

15

8

，g（-1）=2，g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有兩個(gè)根，
∴k的取值范圍是[

15

8

，2）．

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的奇偶性問題，一般利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義找關(guān)系；注意具有奇偶性的函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減．