Question

2．解關于x的不等式ax²+2x+1≤0（其中a∈R）．

Answer 1

分析 對a進行討論，分a=0和a≠0時，進一步利用判別式△，即可求出不等式ax²+2x+1≤0對應的解集．

解答 解：（I）當a=0時，不等式化為2x+1≤0，不等式的解集為{x|x≤-$\frac{1}{2}$}；
（II）當a≠0時，不等式對應的方程為ax²+2x+1=0，
令△=4-4a=0，解得a=1；
①當a=1時，△=0，不等式ax²+2x+1≤0對應的解集為{x|x=-1}；
②當1＞a＞0時，△=4-4a＞0，
方程ax²+2x+1=0的兩根為
x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$，
且x₁＜x₂；
∴不等式的解集為{x|-$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$≤x≤$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$}；
③當a＞1時，△＜0，
方程ax²+2x+1=0無解，不等式的解集為∅
④當a＜0時，△=4-4a＞0，
方程ax²+2x+1=0的兩根為
x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$，
且x₁＞x₂；
∴不等式的解集為{x|x≥-$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$或x≤$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$}．

點評 本題考查了含有字母系數的不等式的解法與應用問題，解題時應對字母系數進行分類討論，是易錯題．