11.現(xiàn)需要設計一個倉庫,它的上部是底面圓半徑為5米的圓錐,下部是底面圓半徑為5米的圓柱,且該倉庫的總高度為5米.經(jīng)過預算,制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價分別為4百元/米2、1百元/米2
(1)記倉庫的側(cè)面總造價為y百元,
①設圓柱的高為x米,試將y表示為關于x的函數(shù)y=f(x);
②設圓錐母線與其軸所在直線所成角為θ,試將y表示為關于θ的函數(shù)y=g(θ);
(2)問當圓柱的高度為多少米時,該倉庫的側(cè)面總造價(單位:百元)最少?

分析 (1)①由題可知,圓柱的高為x米,且x∈(0,5),利用制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價分別為4百元/米2、1百元/米2,可將y表示為關于x的函數(shù)y=f(x);
②設圓錐母線與其軸所在直線所成角為θ,即可將y表示為關于θ的函數(shù)y=g(θ);
(2)由②,令$h(θ)=\frac{2-cosθ}{sinθ}$,${h^'}(θ)=\frac{1-2cosθ}{{si{n^2}θ}}=0$,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)①由題可知,圓柱的高為x米,且x∈(0,5),…(2分)
則該倉庫的側(cè)面總造價$y=(2π×5x)×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\sqrt{(5-x{)^2}+25}}]×4$=$10πx+20π\(zhòng)sqrt{{x^2}-10x+50}$,x∈(0,5)…(4分)
②由題可知,圓錐母線與軸所在直線所成角為θ,且$θ∈({\frac{π}{4},\frac{π}{2}})$,…(6分)
則該倉庫的側(cè)面總造價$y=[{2π×5×5(1-\frac{1}{tanθ})}]×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\frac{5}{sinθ}}]×4$=$50π({1+\frac{2-cosθ}{sinθ}})$,$θ∈({\frac{π}{4},\frac{π}{2}})$…(8分)
(2)由②,令$h(θ)=\frac{2-cosθ}{sinθ}$,${h^'}(θ)=\frac{1-2cosθ}{{si{n^2}θ}}=0$得$cosθ=\frac{1}{2}$,$θ∈({\frac{π}{4},\frac{π}{2}})$即$θ=\frac{π}{3}$,…(11分)

θ$({\frac{π}{4},\frac{π}{3}})$ $θ=\frac{π}{3}$$({\frac{π}{3},\frac{π}{2}})$
h′(θ)-0+
h(θ)極小值
不列表描述單調(diào)性,扣(3分)…(14分)
當$θ=\frac{π}{3}$時,h(θ)取得最小值,側(cè)面總造價y最小,
此時圓柱的高度為$5-\frac{5}{tanθ}=5-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$米.…(15分)
答:當圓柱的高度為$5-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$米時,該倉庫的側(cè)面總造價最少.…(16分)

點評 本題主要考查數(shù)學建模和解決實際問題的能力,考查運算求解能力.

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