Question

19．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=3-2a_n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=${（\frac{2}{3}）^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求出數(shù)列首項(xiàng)，并得到數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答 解：由S_n=3-2a_n，得a₁=S₁=3-2a₁，即a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n-1=3-2a_n-1，與原遞推式作差，得：
a_n=-2a_n+2a_n-1，即3a_n=2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$（n≥2），則數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}=1×（\frac{2}{3}）^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
故答案為：${（\frac{2}{3}）^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．