3.已知函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當a=1時,證明:對任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為證明ex-lnx-2>0,設(shè)g(x)=ex-lnx-2,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=2x-(a-2)-$\frac{a}{x}$=$\frac{(x+1)(2x-a)}{x}$…(2分)
當a≤0時,f′(x)>0對任意x∈(0,+∞)恒成立,
所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增;…(4分)
當a>0時,由f′(x)>0得x>$\frac{a}{2}$,由f′(x)<0,得0<x<$\frac{a}{2}$,
所以,函數(shù)在區(qū)間($\frac{a}{2}$,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,$\frac{a}{2}$)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)當a=1時,f(x)=x2+x-lnx,
要證明f(x)+ex>x2+x+2,
只需證明ex-lnx-2>0,設(shè)g(x)=ex-lnx-2,
則問題轉(zhuǎn)化為證明對任意的x>0,g(x)>0,
令g′(x)=ex-$\frac{1}{x}$=0,得ex=$\frac{1}{x}$,
容易知道該方程有唯一解,不妨設(shè)為x0,則x0滿足${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$,
當x變化時,g′(x)和g(x)變化情況如下表

x(0,x0x0(x0,∞)
g′(x)-0+
g(x)遞減遞增
g(x)min=g(x0)=${e}^{{x}_{0}}$-lnx0-2=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x0-2,
因為x0>0,且x0≠1,所以g(x)min>2$\sqrt{1}$-2=0,
因此不等式得證.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.

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