【題目】一平面上有32個點其中無三點共線證明在這32個點中至少能找到2135個四點組形成凸四邊形的四個頂點

【答案】見解析

【解析】

設(shè)

因為個點中無三點共線,所以個點中以任意三點為頂點可作個三角形,

其中,面積最大者設(shè)為

過點、分別作對邊的平行線,相交得

由于面積最大故其余個點在內(nèi)

又過其中任意兩點、的直線至多與的兩條邊相交,不妨設(shè)直線與邊不相交、、是凸四邊形的四個頂點

因此,個點中任意兩點與點、中某兩點可連出一個凸四邊形

所以,至少有個四點組為凸四邊形的四個頂點其中,、、中兩點,直線與邊不相交

再考慮點和上述個點的集合,知至少有個滿足條件的四點組

繼續(xù)討論下去,個點中滿足條件的四點組至少有

代入得

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【題目】如圖,三棱柱的各棱長均為2, ,E,F分別為棱的中點.

(1)求證:直線BE∥平面;

(2)平面與直線AB交于點M,指出點M的位置,說明理由,并求三棱錐的體積.

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【題目】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線C上的一點,線段PF1與y軸的交點M恰好是線段PF1的中點,,其中O為坐標原點,則雙曲線C的漸近線的斜率與離心率分別是( )

A. ±1, B. 1, C. ±2, D. 2,

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【題目】2020年寒假,因為新冠疫情全體學生只能在家進行網(wǎng)上學習,為了研究學生網(wǎng)上學習的情況,某學校隨機抽取名學生對線上教學進行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為,抽取的學生中男生有人對線上教學滿意,女生中有名表示對線上教學不滿意.

1)完成列聯(lián)表,并回答能否有的把握認為對線上教學是否滿意 與性別有關(guān);

態(tài)度

性別

滿意

不滿意

合計

男生

女生

合計

100

2)從被調(diào)查的對線上教學滿意的學生中,利用分層抽樣抽取名學生,再在這名學生中抽取名學生,作線上學習的經(jīng)驗介紹,求其中抽取一名男生與一名女生的概率.

附:.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知函數(shù),.

(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】低密度脂蛋白是一種運載膽固醇進入外周組織細胞的脂蛋白顆粒,可被氧化成氧化低密度脂蛋白,當?shù)兔芏戎鞍祝绕涫茄趸揎椀牡兔芏戎鞍走^量時,它攜帶的膽固醇便積存在動脈壁上,久了容易引起動脈硬化,因此低密度脂蛋白被稱為“壞的膽固醇”.為了調(diào)查某地中年人的低密度脂蛋白濃度是否與肥胖有關(guān),隨機調(diào)查該地100名中年人,得到2×2列聯(lián)表如下:

肥胖

不肥胖

總計

低密度脂蛋白不高于

12

63

75

低密度脂蛋白高于

8

17

25

總計

20

80

100

由此得出的正確結(jié)論是( )

A.10%的把握認為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關(guān)”

B.10%的把握認為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無關(guān)”

C.90%的把握認為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關(guān)”

D.90%的把握認為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無關(guān)”

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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系.

(1)求曲線C的極坐標方程;

(2)設(shè)直線l的極坐標方程為,若直線l與曲線C交于M,N兩點,且,求直線l的直角坐標方程.

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【題目】“黃梅時節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹”“梅雨暫收斜照明”江南梅雨的點點滴滴都流潤著濃洌的詩情每年六、七月份,我國長江中下游地區(qū)進入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié),如圖是江南Q鎮(zhèn)年梅雨季節(jié)的降雨量單位:的頻率分布直方圖,試用樣本頻率估計總體概率,解答下列問題:

“梅實初黃暮雨深”假設(shè)每年的梅雨天氣相互獨立,求Q鎮(zhèn)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350mm的概率;

“江南梅雨無限愁”在Q鎮(zhèn)承包了20畝土地種植楊梅的老李也在犯愁,他過去種植的甲品種楊梅,平均每年的總利潤為28萬元而乙品種楊梅的畝產(chǎn)量與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計表所示,又知乙品種楊梅的單位利潤為,請你幫助老李排解憂愁,他來年應該種植哪個品種的楊梅可以使總利潤萬元的期望更大?需說明理由

降雨量

畝產(chǎn)量

500

700

600

400

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【題目】已知甲、乙兩名工人在同樣條件下每天各生產(chǎn)100件產(chǎn)品,且每生產(chǎn)1件正品可獲利20元,生產(chǎn)1件次品損失30元,甲、乙兩名工人100天中出現(xiàn)次品件數(shù)的情況如表所示.

甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件

0

1

2

3

4

對應的天數(shù)/天

40

20

20

10

10

乙每天生產(chǎn)的次品數(shù)/件

0

1

2

3

對應的天數(shù)/天

30

25

25

20

(1)將甲每天生產(chǎn)的次品數(shù)記為(單位:件),日利潤記為(單位:元),寫出的函數(shù)關(guān)系式;

(2)按這100天統(tǒng)計的數(shù)據(jù),分別求甲、乙兩名工人的平均日利潤.

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