Question

13．已知集合$A=\left\{{\frac{π}{7}，\frac{2π}{7}，\frac{3π}{7}，\frac{4π}{7}，\frac{5π}{7}，\frac{6π}{7}}\right\}$﹒
（1）若從集合A中任取一對角，求至少有一個角為鈍角的概率；
（2）記$\overrightarrow a=（1+cosθ，1+sinθ）$，求從集合A中任取一個角作為θ的值，且使得關于x的一元二次方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解的概率．

Answer 1

分析 （1）從集合A中任取一對角，利用對立事件概率計算公式能求出至少有一個角為鈍角的概率．
（2）方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解，推導出$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$≥5．由${|{\overrightarrow a}|^2}={（1+cosθ）^2}+{（1+sinθ）^2}=3+2（sinθ+cosθ）$，求出$t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$≥1，由此能求出從集合A中任取一個角作為θ的值，且使得關于x的一元二次方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解的概率．

解答 解：（1）∵集合$A=\left\{{\frac{π}{7}，\frac{2π}{7}，\frac{3π}{7}，\frac{4π}{7}，\frac{5π}{7}，\frac{6π}{7}}\right\}$﹒
∴從集合A中任取一對角，至少有一個角為鈍角的概率：
$P=1-\frac{3}{15}=\frac{4}{5}$．
（2）方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解，即$△=4{|{\overrightarrow a}|^2}-4•5≥0⇒{|{\overrightarrow a}|^2}≥5$．
又${|{\overrightarrow a}|^2}={（1+cosθ）^2}+{（1+sinθ）^2}=3+2（sinθ+cosθ）$，
∴3+2（sinθ+cosθ）≥5，即sinθ+cosθ≥1．
∵$t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴若θ為銳角，$t∈（{1，\sqrt{2}}]$，若θ為鈍角，t∈（-1，1），
∴θ必為銳角，
∴從集合A中任取一個角作為θ的值，
且使得關于x的一元二次方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解的概率$P=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查概率的求法，考查古典概型、對立事件概率計算公式、三角函數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．