Question

17．如圖，已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經(jīng)過過點(diǎn)P（2，1）．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓M上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂=-$\frac{1}{4}$．
①求x₁²+x₂²的值；
②設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（點(diǎn)C，A不重合），試求直線AC的斜率．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和P的坐標(biāo)滿足橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得橢圓方程；
（2）①運(yùn)用直線的斜率公式，可得k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，兩邊平方，再由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理即可得到所求值；
②由題意可得C（x₂，-y₂），運(yùn)用橢圓方程可得y₁²+y₂²=$\frac{3}{2}$，配方可得（y₁+y₂）²=$\frac{1}{2}$（3+4y₁y₂），（x₁-x₂）²=6-2x₁x₂=6+8y₁y₂，再由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）①由題意可得k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
即為x₁²x₂²=16y₁²y₂²，
又點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓M上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，
可得4y₁²=8-x₁²，4y₂²=8-x₂²，
即有x₁²x₂²=（8-x₁²）（8-x₂²），
化簡(jiǎn)可得x₁²+x₂²=8；
②由題意可得C（x₂，-y₂），
由4y₁²=8-x₁²，4y₂²=8-x₂²，
可得y₁²+y₂²=$\frac{16-（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）}{4}$=2，
由x₁²+x₂²=（x₁-x₂）²+2x₁x₂=8，
可得（x₁-x₂）²=8-2x₁x₂，
由y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=2，
可得（y₁+y₂）²=2+2y₁y₂=$\frac{1}{2}$（1+y₁y₂），
由$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，即x₁x₂=-4y₁y₂，
可得（x₁-x₂）²=8-2x₁x₂=8+8y₁y₂，
則直線AC的斜率為k_AC=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=±$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}（1+{y}_{1}{y}_{2}）}{8（1+{y}_{1}{y}_{2}）}}$=±$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的斜率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，直線的斜率公式和兩邊平方及配方的思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．