Question

已知0＜a＜4，函數(shù)f（x）=|

x-a

x+2a

|，若存在直線l₁，l₂與函數(shù)y=f（x），x∈（0，4）的圖象相切，l₁⊥l₂，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先研究原函數(shù)的單調(diào)性，然后確定該函數(shù)的切線可能存在的區(qū)間，最后利用斜率之積為-1確定字母a的范圍，注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．

解答： 解：易知當(dāng)0≤x≤a時，f(x)=

a-x

x+2a

，此時f′(x)=

-3a

(x+2a)2

＜0，故函數(shù)在（0，a）上遞減；
當(dāng)x＞a時，f(x)=

x-a

x+2a

，此時f′(x)=

3a

(x+2a)2

＞0，故函數(shù)在（a，+∞）上遞增．
因此若a≥4，則f（x）在（0，4）上遞減；若0＜a＜4，則f（x）在（0，a）上遞減，在（a，4）遞增．
顯然當(dāng)a≥4時，不會存在滿足題意的直線l₁，l₂．
當(dāng)0＜a＜4時，由題意應(yīng)存在x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），使得f（x）在這兩點處的切線互相垂直．
即滿足f′（x₁）•f′（x₂）=-1．
即

-3a

(x1+2a)2

•

3a

(x2+2a)2

=-1．
所以x1+2a=

3a

x2+2a

①
因為x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
所以x1+2a∈(2a，3a)，

3a

x2+2a

∈(

3a

4+2a

，1)．
所以①成立等價于A=（2a，3a）與B=(

3a

4+2a

，1)的交集非空．
因為

3a

4+2a

＜3a，所以當(dāng)且僅當(dāng)0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

時A∩B≠∅．
故存在a∈(0，

1

2

)，使得滿足題意的直線l₁，l₂存在．
故答案為（0，

1

2

）．

點評：本題是一道高考壓軸題改編的填空題，難度較大，需要較高的分析和解決問題的能力．