Question

7．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），則不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≤$\frac{1}{f（lo{g}_{\frac{1}{2}}x+1）}$的解集為[4，+∞）．

Answer 1

分析 可令x=1，y=0，代入f（x+y）=f（x）•f（y）計(jì)算可得f（0）=1，由x＞0時(shí)，f（x）＞1，可得x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1，再由單調(diào)性的定義，判斷f（x）在R上遞增，原不等式即為f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1）≤1，運(yùn)用條件可得2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1≤0，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式可得解集．

解答 解：令x=1，y=0，代入f（x+y）=f（x）•f（y）中得：
f（1）=f（1）•f（0），
由1＞0，可得f（1）＞1，
可得f（0）=1，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，得f（-x）＞1，
令y=-x，則x+y=0，代入f（x+y）=f（x）•f（y）中得，
f（x）•f（-x）=f（0）=1，
即有0＜f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$＜1
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0且f（x₂-x₁）＞1，f（x₁）＞0，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）
=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，
由x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＞1，
即f（x₂-x₁）-1＞0，
則有f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
可得f（x）在R上單調(diào)遞增．
f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≤$\frac{1}{f（lo{g}_{\frac{1}{2}}x+1）}$即為f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1）≤1，
由f（0）=1，f（x）f（y）=f（x+y），可得，
f（2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1）≤f（0），即為2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1≤0，
即有l(wèi)og${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{1}{2}$，解得x≥4．
故答案為：[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，注意運(yùn)用賦值法和函數(shù)的單調(diào)性的判斷及運(yùn)用，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．