Question

20．求f（x）=（1+sinx）（1+cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）的值域．

Answer 1

分析 令sinx+cosx=t，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，得到原函數(shù)關(guān)于t的函數(shù)，根據(jù)x的范圍和輔助角公式得出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域．

解答 解：f（x）=1+sinx+cosx+sinxcosx，
令sinx+cosx=t，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴f（x）=g（t）=1+t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}{t}^{2}$+t+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t-1）²．
∵t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴1＜t$≤\sqrt{2}$．
∴0＜g（t）≤$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}-1$）²=$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$．
即f（x）的值域?yàn)椋?，$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．