8．△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，已知bcosC=ccosB．
（1）求證：△ABC為等腰三角形．
（2）若a=2$\sqrt{2}$，b=2，點D為邊AC的中點，求BD的長．

分析 （1）利用正弦定理將邊化角，使用差角的正弦函數(shù)公式得出B=C；
（2）在△ABC中利用余弦定理求出cosC，再在△BCD中使用余弦定理計算BD．

解答 解：（1）△ABC中，∵bcosC=ccosB，∴sinBcosC-sinCcosB=0，即sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∴△ABC為等腰三角形．
（2）∵B=C，∴c=b=2，∴CD=$\frac{1}{2}$b=1．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴C=45°．
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}-2BC•CDcosC}$=$\sqrt{8+1-4}$=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．

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